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Question

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {\frac{{{a^{1/x}} + b}}{c}} ight)^x} = d$. चूंकि $d$ एक शून्येतर परिमित मान है,सीमा $1^

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$1$

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(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {\frac{{{a^{1/x}} + b}}{c}} ight)^x} = d$. चूंकि $d$ एक शून्येतर परिमित मान है,सीमा $1^\infty$ के रूप में होनी चाहिए। जैसे $x 	o \infty$,$a^{1/x} 	o a^0 = 1$. अतः,$\frac{1+b}{c} = 1$,जिसका अर्थ है $c = b + 1$. अब,$L = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {\frac{{{a^{1/x}} + b}}{b+1}} ight)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {1 + \frac{{{a^{1/x}} - 1}}{{b+1}}} ight)^x}$. मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{u 	o 0} (1+u)^{1/u} = e$ का उपयोग करते हुए: $L = \exp \left( \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } x \cdot \frac{a^{1/x} - 1}{b+1} ight)$. चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } x(a^{1/x} - 1) = \mathop {\lim }\limits_{t 	o 0} \frac{a^t - 1}{t} = \ln a$,हमें प्राप्त होता है: $d = \exp \left( \frac{\ln a}{b+1} ight) = a^{1/(b+1)}$. दोनों पक्षों में $\log_a$ लेने पर: $\log_a d = \frac{1}{b+1}$. अतः,$(b + 1) \log_a d = 1$.

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{a^{1/x}} + b}}{c}} \right)^x} = d$ (जहाँ $d$ एक शून्येतर परिमित मान है),तो $(b + 1) \log_a d$ का मान क्या है?

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